Что такое фракталы? Мир вокруг нас. Часть первая

Что такое фракталы? Мир вокруг нас. Часть первая

«Вся сложность в простоте»

«Сэнсэй-II» А. Новых

«...всё фрактально повторяется в этом материальном мире…»

«СОЗНАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ. От заведомо мёртвого к вечно Живому»


Что такое фрактал

Что такое фрактал? Как устроен мир вокруг нас? Что лежит в основе всего? Почему наша Галактика по форме похожа на раковину Наутилуса, человеческий глаз на космическую туманность, а клетки мозга на всю нашу Вселенную?

Кому из вас не доводилось видеть похожие формы в живых и неживых объектах? Будто одна и та же формула, пронизывает всё вокруг. 


Мир вокруг нас: Вселенная и клетки мозга, рождение звезды и деление клетки, глаза человека и туманности

Рис. 1. Фотография Вселенной, клетки мозга, рождение звезды, деление клетки, глаз человека и туманности


Схожие формы встречаются повсюду, от микро- до макромира: в минералах, растениях и животном мире, в структуре ДНК, в природных явлениях (циклоны, молнии, береговые линии), планетарных системах и звёздных скоплениях. Они присутствуют и в живых организмах. 

Каковы закономерности и в чём причина такого сходства? Объяснением этому является фрактал. Фрактальность также прослеживается как в самом человеке, так и во взаимоотношениях в семье, коллективе и обществе в целом


Фракталы в природе: клетки лука и эзоосмическая решётка

Рис. 2. Пример фракталов: клетки лука и эзоосмическая решётка


Фрактал (лат. «fractus» – дроблёный) – самоподобие (копирование) геометрических фигур, где каждый фрагмент дублируется в уменьшающемся масштабе. В природе это явление встречается очень часто. 

Можно сказать, что фрактал – это узор, который повторяет сам себя в разных масштабах до бесконечно малого или/и бесконечно большого. Он рождается не просто повторением форм, а скорее повторением процесса, который применяется к форме. Бесконечная цепочка самопостроения.

В природе ярким примером такого узора является капуста сорта «Романеско». 


Пример фрактальной формы на капусте сорта «романеско»

Рис. 3. Пример фрактала в природе, капуста «Романеско»


Она имеет сложное строение. Если мы возьмем нож, отрежем один бутончик и присмотримся, то увидим – это та же капуста только меньшего размера. Можно продолжить эксперимент и резать дальше – получаются более мелкие образцы капусты.

История открытия фракталов

Опираясь на найденные интересные артефакты, мы видим, что знаниями о фракталах располагали люди ещё в древности. Их изображение мы находим на керамике Трипольской культуры (с 5450 по 2700 год. до н. э.), в очертаниях построения селений и городищ, архитектуре зданий. Более подробно об этом будет рассказано во второй части статьи.

На данный момент нам не известно, каким термином называли наши предки явление самоподобия объектов. Но точно можно сказать, что знания о фракталах входили в раздел «сакральной геометрии» прошлого. Понимание математической закономерности всего миропорядка было естественным ещё тысячелетия назад.

К примеру, выдающемуся зодчему Древнего Египта Имхотепу удалось возвести первую в той стране ступенчатую пирамиду – грандиозное фрактальное сооружение с чёткими математическими пропорциями. К слову сказать, группа близких Имхотепу людей называли Бога не иначе как Великим Зодчим Мироздания. А во времена существования ордена Тамплиеров по всей Европе получил широкое распространение готический стиль архитектуры – воплощение сакральной геометрии и фрактальных узоров в камне. 

Однако, со временем учёные выбрали другой, материалистический путь развития науки, который увёл нас далеко от этих знаний, и божественные законы были забыты.

Как современники пришли к понятию «фрактал»

В области изучения фракталов ещё в конце ХIX – начале ХХ веков работали многие учёные: Пьер Фату, Жюль Анри Пуанкаре, Георг Кантор, Феликс Хаусдорф, Гастон Жюлиа. Они и заложили математическую базу для появления теории фракталов. 

Появление вычислительных устройств позволило ускоренно проводить итерации (многократно повторяющийся процесс вычисления) и визуализировать формулы. А сама идея ввести формулу Гастона Жюлиа в компьютер и с его помощью произвести громоздкие расчеты пришла в голову Мандельброту приблизительно в 1977 году. Раз за разом, меняя переменную C, он получал новые удивительные изображения. Таким образом, множества Жюлиа приобрели геометрические формы. (см. Множества Жюлиа). В 1980 г. программа отпечатала нечто похожее на кляксу. (см. фрактал Мандельброта). Это простое на первый взгляд изображение при приближении выявляет в себе новые и новые отображения множеств Жюлиа, которым нет предела. 


Фрактал Мандельброта. Множество Жюлиа

Рис. 4. Изображения фракталов. Фрактал Мандельброта. Множество Жюлиа


Много современных учёных успешно работали в данном направлении. Заслуга Бенуа заключается в том, что он первым визуализировал уже имеющиеся формулы, показав всему миру их невероятную красоту, и дал ныне существующее название этому явлению.

Виды фракталов

Фракталы бывают разных видов, рассмотрим некоторые из них: 

  • геометрические;
  • алгебраические;
  • стохастические;
  • концептуальные (социокультурные, непространственные и т.д.)

Геометрические

Геометрические виды фракталов являются самыми наглядными и простыми в строении. Увидеть их может любой человек. Множество таких фракталов можно нарисовать на обычном листке бумаги в клетку. Примером являются: Треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Н-фрактал, Т-фрактал, Дракон, Кривая Леви, Дерево Пифагора.


Примеры геометрических видов фракталов

Рис. 5. Примеры геометрических фракталов


Рассмотрим принцип построения фракталов на примере – «Снежинки Коха» (рис. 6)

Он строится путём многократного разделения отрезка линии на 3 равные части и замены средней части на 2 новых отрезка той же длины. Число сторон каждый раз учетверяется, вследствие чего становится бесконечно великим. Периметр снежинки имеет бесконечную длину, но площадь при этом конечна, так как фигура является замкнутой.


Пример построения фракталов. Снежинка Коха

Рис. 6. Фрактал – «Снежинка Коха»


«Снежинка Коха» стала основой фрактальных антенн, которые мы используем в мобильных устройствах. Благодаря такой форме антенны имеют компактный размер с широким диапазоном действия.


Фрактальные антенны

Рис. 7. Примеры фрактальных антенн


По принципу построения интересен также «Треугольник Серпинского»

  1. Возьмём равносторонний треугольник, отметим середины его сторон.

  2. Соединим срединные точки прямыми линиями. Образовались 4 треугольника. 

  3. Центральный треугольник вынимаем и «выкидываем».

Теперь повторим эту операцию с каждым из вновь образовавшихся треугольников. И так до бесконечности. 


Треугольник Серпинского: пример построения

Рис. 8. Построение треугольника Серпинского


Из этого примера легко увидеть, что количество треугольников увеличивается, и сумма их периметров (сумма сторон треугольников) стремится к бесконечности, а сумма площадей – к нулю.

Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Разбирая способ построения, можно увидеть, что «вынимая» из треугольника всё наполнение после каждой итерации (повторение операции построения), мы постоянно уменьшаем его площадь и в результате сводим её к нулю.

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов, которая базируется на основе разных алгебраических формул. Ярким примером является фрактал Мандельброта. В настоящее время их принято отображать в цвете. Получаются красивейшие необычные орнаменты, которые используют, например, в дизайне одежды.


Примеры алгебраических видов фракталов

Рис. 9. Изображения алгебраических фракталов


Не менее популярным является способ построения, основанный на комплексной динамике. В результате образуются фракталы, напоминающие живые организмы – биоморфы. (рис.10).


Биоморфы – примеры способа построения фракталов

Рис. 10. Изображения фракталов – «биоморфы»


Стохастические фракталы

Строятся путём хаотического изменения некоторых параметров. При этом получаются объекты, очень похожие на природные. Фракталы данного вида широко применяются в киноиндустрии. С помощью компьютерной графики создаются искусственные горы, облака, поверхности моря, планеты, береговые линии, несимметричные деревья (рис.11). Также представителем данного вида является – «плазма» в природе:

  • Молния
  • Ионосфера
  • Северное сияние
  • Пламя 


Стохастические фракталы

Рис. 11. Стохастические фракталы


Концептуальные (социокультурные, непространственные) фракталы

Этот вид объединяет непространственные структуры, выходящие за рамки геометрической фрактальности. Принцип многоуровневого самоподобия заложен в культурных произведениях. В художественных текстах (стихах для детей, народных песнях, в музыкальных произведениях и сказках) часто встречается «рассказ в рассказе».

Например: 

«У попа был двор, на дворе был кол, на колу мочало – не начать ли сказочку сначала?... У попа был двор...»

или

Сказка «Репка»:

Дедка, бабка.

Дедка, бабка, внучка.

Дедка, бабка, внучка, Жучка и т.д.

Фрактальность наблюдается в организации человеческих поселений (страна – город – квартал); в распределении общества на группы (народ – социокультурная группа – семья – человек). Сюда же отнесём фрактальность взаимоотношений, которые начинаются с самого человека. Меняется человек, его восприятие, внутреннее состояние – изменяется взаимоотношение в семье, коллективе, в итоге преобразуется всё общество. Прослеживается фрактальность в иерархических системах управления.

ФРАКТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ПРИРОДЕ


Фракталы – это молнии и природные ландшафты, снежинки и корень растения, фигуры Лихтенберга

Рис. 12. Фракталы в природе


Один из наглядных примеров фрактальной формы – береговые линии, которые отличаются друг от друга степенью своей изрезанности. Нет абсолютно одинаковых протоков, но их общие очертания как будто нарисованы одним лекалом. Эти очертания независимо от размера очень похожи. Маленький проток – это уменьшенная копия большого. Если увеличить верхний правый угол картинки, то она будет аналогична всей картине, изображенной на рисунке.


Фракталы в природе – береговые линии

Рис. 13. Береговые линии


Растительный мир нашей зелёной планеты богат и разнообразен. На первый взгляд кажется, что в нём нет никакой закономерности: растения в лесу расположены беспорядочно, ветки с листьями на растениях тоже. Но возьмём, к примеру, дерево. Если рассматривать дерево поднимаясь от основания к вершине, то видно, как от ствола отходят большие ветви, на больших ветвях идёт такое же разветвление меньших веток, и дальше форма разветвления в любой части дерева будет повторяться, лишь уменьшаясь в размере к вершине. И зная принципы построения фракталов, изучив все закономерности расположения веток на вершине дерева, нетрудно догадаться, как выглядит это же дерево у своего основания.

Крона – это видимая часть дерева, которая является отражением корневой системы. А корни, в свою очередь, тоже имеют ярко выраженное фрактальное строение. (рис.14, б).


Примеры фракталов: развилки на стволах дерева, корневой системе дерева

Рис. 14. Фракталы в природе на примере дерева


Самое интересное, что прожилки на листьях тоже образуют фрактальный рисунок, очень похожий на плоское миниатюрное дерево (рис.15). Нет листьев с одинаковым рисунком, так же как нет людей с одинаковым отпечатком пальца. Рисунок на каждом листе уникален.


Фрактальность в листьях

Рис. 15. Фрактальность в листьях


Комнатное растение (королевская бегония) – яркий пример проявления фракталов в рисунке листьев. Маленькие листочки по форме и сочетанию цветов аналогичны большим, хотя и не являются их точной копией (рис.16).


Бегония королевская – примеры фракталов в природе

Рис. 16. Листья королевской бегонии


Один из самых старых видов наземных растений – папоротники. Учёные полагают, что они существуют более 350 млн. лет. Строение листа этого растения очень похоже на компьютерный фрактал (рис.17). Именно это растение является ярким доказательством того, что чем древнее биологическая форма, тем чётче в ней прослеживается фрактал, то есть форма организма строится по простым правилам.


Фракталы на примере листьев папоротника

Рис. 17. Листья папоротников


Съедобные растения тоже несут в себе формы самоподобия. Красная капуста в продольном срезе имеет фрактальный рисунок. (рис.18)


Разные сорты капусты – фракталы

Рис. 18. Фото разных сортов капусты


Казалось бы, тугой кочан капусты, а его красота может вдохновить даже художника. Белые утолщения центральных черенков плотно прижатых листьев образуют волшебный фрактальный лабиринт.

Лишайники так же как папоротники и мхи – это самые древние представители растительного мира, поэтому фракталы в них выражены особенно ярко. В их узлах содержатся те же фрактальные формы, что и по краям.


Лишайники


Фрактальность мироустройства, энергии.
Спираль как фрактал

Мир вокруг нас разнообразен. Многие объекты, существующие в природе, являются фракталами. В их основе лежит Божественная пропорция (число Фи) – это Золотое сечение и золотая спираль, благодаря которой мы воспринимаем красоту и гармонию природы, пропорциональность строения человека, древней архитектуры, классических произведений искусства. 

Золотая спираль строится фрактальным способом: прямоугольник с золотой пропорцией. 1,618 (число Фи) разбивают на малые квадраты и проводят дугу. То есть в спиралях большая дуга переходит в подобную меньшую и т.д.


Пример золотого сечения

Рис. 20. Золотое сечение


Спираль сама по себе является фракталом, в котором каждый новый виток копирует предыдущие, но в новом масштабе. Прямая взаимосвязь между мироустройством микро- и макромира и формой спирали свидетельствует о фрактальном устройстве Вселенной. 

Очень интересную информацию об этой взаимосвязи можно найти в книге «АллатРа» А. Новых: 

«Ригден: Да, и это связано со структурированным ходом энергий, хранением информации и её обменом, в общем, с углублённой физикой. Если внимательно изучить этот вопрос, то можно понять, что многое в материальном мире располагается в форме спирали или совершает движение по спирали, начиная от микро- и заканчивая макрообъектами». 

Здесь же мы читаем, что в мифологии древних народов основные моменты о сотворении мира схожи. Говорится, что из мира Бога появился Первичный Звук, который породил Вселенную в форме шара. А на его поверхности под действием сил Аллата (первичной энергии, порождающей жизненное движение) стала образовываться материя, которая благодаря тем же силам начала взаимодействовать между собой. 


Строение Вселенной – правильная спираль. Цитата из «АллатРа»


Весь мир создан по математическим пропорциям, и древние об этом знали и отразили своё знание в мифах о сотворении мира. Спираль и последовательность Фибоначчи – это тоже фракталы.

Понятие о двух противодействующих силах Вселенной запечатлены на артефактах разных культур и эпох символом спиралей, закрученных в разные стороны.


Спирали на артефактах культур мира

Рис. 20. Артефакты с символом спираль в культурах мира


Науке уже известно о спиральных структурах и спиралевидном движении энергии. В этом движении также обнаруживаются фрактальные свойства. Их можно увидеть в космосе, в теле человека, в растениях и природных явлениях (облака, циклоны, водовороты).

Физики наблюдали, как в турбулентных потоках большие вихри порождают вихри поменьше, а те ещё меньше, и такое деление спиралевидных энергий наблюдалось до тех видимых пределов, которые технически были доступны учёным.

Фрактальные свойства присутствуют в структуре и движении энергии электрического разряда, воды, в росте растений и т.д.

Чем полезны знания о фракталах

Понимание фрактального устройства упростило многие сферы научных исследований. Удивительная особенность фракталов – повторение аналогичного паттерна в разных масштабах – позволяет нам, изучив малую часть какого-либо события или явления, предполагать об устройстве целого. 

Это свойство позволило более точно рассчитывать площади неровных изломанных поверхностей. Например географических, таких как береговые линии, облака, или биологических – внутренняя поверхность лёгких или нервных волокон. 


Строение человеческого организма. Пример фракталов лёгочной системы

Рис. 21. Изображение структуры лёгких


Фрактальное строение ландшафта позволило создавать 3D модели гор, облаков, берега, что широко используется в компьютерной графике кинематографа, программ обучения водителей, лётчиков, а также в компьютерных играх. По факту, это есть создание иллюзорной копии нашего мира (иллюзии внутри иллюзии).

В технической сфере мы научились производить фрактальные антенны, которые позволяют значительно уменьшить размеры конструкции, и расширить диапазон принимаемых частот без увеличения объёма и громоздкости.

Применение фрактального свойства в архитектуре привело к появлению новых необычных форм с увеличением прочности строений. 

Знания о фракталах нашли применение во всех сферах жизни человека – в физике, экономике, культуре, биологии, геологии и т.д.

Но главное – это реальный шанс по-новому взглянуть на мироустройство, которое пронизано фракталами вдоль, поперёк и насквозь. Например, изучение галактики, позволило учёным приблизиться к пониманию о строении Вселенной и о параллельных мирах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как видим, фракталы – это не нечто обособленное и непонятное. Они наполняют нашу жизнь. Знания о фрактальном построении мира имелись у людей издревле. Мы провели небольшое исследование и нашли интересные факты, связанные с древностью фракталов, способами их применения в архитектуре и проявлений как в самом человеке, так и в обществе. 

Как говорится в книге Анастасии Новых «АллатРа»:


Цитата из «АллатРа». Фракталы в природе


Во второй части нас ждёт захватывающее путешествие в историю, архитектуру, музыку. У нас будет возможность понять, как изменения в неизмеримо малом могут привести к глобальным трансформациям. И что может сделать человек как единица общества, чтобы наступило золотое тысячелетие, о котором люди мечтают с давних пор.

Конец первой части


Участники МОД «АЛЛАТРА»



Список литературы:

  1. Анастасия Новых «АллатРа» К: изд-во «АЛЛАТРА» 2013

  2. Анастасия Новых «Сэнсэй IV»

  3. Анастасия Новых «Сэнсэй-II»

  4. АЛЛАТРА ТВ передача «СОЗНАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ. От заведомо мёртвого к вечно Живому»

  5. Статья «К ТИПОЛОГИИ ФРАКТАЛОВ В ТЕОРИИ КУЛЬТУРЫ»

  6. Смирнова А. С., Готический стиль в архитектуре и психология. (Научные труды Института Непрерывного Профессионального Образования. №4/2014.

  7.  Деменок С., Просто фрактал. – СПб.: ООО «Страта», 2012.

  8. Cтатья из Вестника Брестского гос. техн. унив-та. 2015 №1: Колосовская А.Н. Архитектурные сооружения духовно-рыцарский орденов.

  9. Г.М. Вдовин Г.М., Трубецков Д.И., Столетие фрактальной геометрии: От Жюлиа и Фату через Хаусдорфа и Безиковича к Мандельброту. Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. Россия. 2020.

  10. Федер Е., Фракталы. Перевод Ю.А.Данилова и А.Шукурова. М.: «Мир». 1991.

  11. Берд К.,  Книга о странном.


Это интересно
113

Комментарии (14)
  • Н
    Наталья

    Огромная благодарность за такую интересную и увлекательную статью! Прочла на одном дыхании.

  • Ю
    Юлия

    Очень интересная статья. Во время её прочтения восьмилетняя дочь сидела возле ноутбука и с любопытством расматривала картинки. Мы вместе восхищались красотой фракталов и нашей вселенной. Мы живём в этом мире и воспринимаем этот мир как что-то понятное, не углубляясь в его красоту. Это статья помогла взглянуть абсолютно по-новому на мироустройство, проникнуть в его неизведанные части. Спасибо вам за прекрасную статью, жду с нетерпением на 2ую часть. Спасибо!)

  • О
    Ольга

    Спасибо, все гениальное - просто) очень интересно и познавательно!

  • Т
    Татьяна

    Очень просто и понятно все написано. Полностью поняла принцип золотого сечения. Спасибо огромное и очень жду продолжения !

    В
    Владимир

    Очень интересная статья. Чувствуется, что готовили с душой и вложили много труда и сил. Один только вопрос: в литературе как источники книги Анастасии Новых авторы указать не забыли, а прчему же не указали источники из которых взяли описание фракталов и классификацию, или это их головы все выдумано авторами самостоятельно?

    К
    Команда АЛЛАТРА Вести
    Владимир, спасибо за комментарий и за вопрос. Действительно, список литературы получился неполный. Доработали его и внесли некоторые изменения.
  • А
    Александра

    Тысячи свечей можно зажечь от единственной свечи, и жизнь ее не станет короче. Будда

    Помню, в школе на биологии кратко рассказывали что-то про фрактальность, но тогда это не запомнилось, так как не было применения этим фактам. А сейчас после такого комплексного разбора данного явления, стало очень много понятно. Глядя на фрактальность материального мира приходит мысль, что, если всё фрактально, то и человек — фрактальное отображение общества. Соответсвенно, настоящие перемены малого (человека) могут повлечь перемены в большом (в обществе). Это действительно вдохновляет, так как становится понятнее, почему именно от каждого человека так много зависит и почему каждый может многое сделать. Большая благодарность за статью! Видно, что факты не поверхностные, проделана большая аналитическая работа, очень интересно читать! Здорово, что такой большой пласт информации поделён на разделы: таким образом успеваешь осознать факты и отметить для себя важные моменты. После статьи сразу же просмотрела ещё информацию по этому вопросу, интересно, а фигуры Хладни как-то можно соотнести с данной темой? 🤔 Отдельное спасибо хотелось бы сказать ребятам, которые отвечали за иллюстрации: в аналитических статьях это особенно важно, так как благодаря картинкам информация сразу структурируется в голове и «усваивается». Буду с нетерпением ждать следующей части, спасибо всей команде АллатРа Вести, вы большие молодцы и очень вдохновляете!

  • О
    Оксана

    Удивительно легкая подача очень интересной информации. Спасибо большое! Как все просто и интересно в мире! С нетерпением ожидаю второй части!

  • А
    Алекс Счастливый

    Благодарю. Очень интересная статья. Просто и ясно о такой достаточно трудной теме в науке как фракталы. Благодаря наглядным примерам и пояснениям смог лучше понять, что же такое фракталы.

  • П
    Петя

    Крайне познавательно! читал с интересом - самое главное, что фрактальность во всем тут на планете. И - в обществе в целом - а значит если изменится один человек в лучшую сторону то изменится и общество в целом. Спасибо!!

  • С
    Светлана

    Здорово! Очень интересно! И безумно красиво. Спасибо огромное!

  • Н
    Настя

    Спасибо за статью и за подборку интересных фактов. Никогда бы не подумала, что такая тема как Фракталы легко понять. Оказывается, все очень просто!

  • А
    Андрей

    Статья супер. Так много интересных фактов нашли. Спасибо команде, работавшей над её созданием. С интересом жду продолжения.

  • Е
    Елена Л

    Спасибо за интересную статью. Действительно, приходить понимание почему так важно расширять и пополнять свои знания. Ведь это даёт возможность более целостно взглянуть на мир, понять его устройство, понять себя.

  • Е
    Екатерина

    Спасибо, очень интересная и подробная статья о фракталах и их видах. Видно, что проделана большая работа, прочла на одном дыхании))

  • Ю
    Юлия

    Невероятно интересная статья! Насколько знания о фрактальном устройстве мира обогащают и расширяют восприятие Вселенной, жизни и нашего места в ней!

Оставить комментарий